Racine carrée - Propriétés

Propriétés

Soit \(a\; \text{et} \;b\;\)deux nombres réels positifs. On a :
1. \(\sqrt{a\times b}=\sqrt a \times\sqrt b\)
2. \(\text{Si}\;b>0\;\text{;}\quad \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\)
3. Si \(a\) et \(b\) sont strictement positifs, alors on a : \(\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b\).

Exemples

• \(\sqrt 3 \times \sqrt2=\sqrt{3\times 2}=\sqrt 6\)
  
• \(\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt 2}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}\)
  

Remarques

• \(\sqrt{9+16}\neq\sqrt 9+\sqrt{25}\) comme l'indique la propriété précédente.
  En effet, \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) et \(\sqrt 9+\sqrt{16}=3+4=7\).
  Les résultats sont bien différents.
•  \(\sqrt 3+\sqrt 2\) ne peut pas s'écrire autrement de manière exacte !
  
• \(\sqrt{3-2}=\sqrt 1=1\). On effectue d'abord l'opération sous le radical.
  

Exemples

1. Écrivons les nombres ci-dessous sous la forme \(a\sqrt b\) , où \(a\;\text{et}\;b\) sont des réels positifs et \(b\) est le plus petit possible.

• \(\sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\sqrt 7\)
  
• \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt{9}\times\sqrt 3=3\sqrt 3\)
  

2. Montrons que les nombres suivants sont des nombres rationnels.

• \(\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt 9}=\dfrac{5}{3}\)
  
• \(\sqrt{\dfrac{49}{81}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}}=\dfrac{7}{9}\)
  

Démonstrations

1. Soit \(a\; \text{et} \;b\;\)deux nombres réels positifs. D'après la "règle des signes", on a : \(ab\geq0\).
Donc \(\sqrt{ab}\) est bien défini et on a \((\sqrt{ab})^2=ab\).
De plus \((\sqrt a\times \sqrt b)^2=(\sqrt a)^2 \times (\sqrt b)^2=a\times b=ab\).
On vient de montrer que les nombres positifs \(\sqrt{ab}\) et \(\sqrt a\times \sqrt b\) ont des carrés égaux. Donc ils sont égaux.
2. La démonstration est analogue à celle de la question précédente.
3. Considérons un triangle \(\text{ABC}\) rectangle en \(\text A\) tel que  \(\text {AB}=\sqrt a\)  et \(\text {AC}=\sqrt b\).
Alors, d'après le théorème de Pythagore, on a \(\text {BC}^2=\text {AB}^2+\text {AC}^2=(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2=a+b\).
Et donc \(\text {BC}=\sqrt{a+b}\)  (puisque \(BC\) est une longueur donc est positive).
D'après l'inégalité triangulaire, on a :  \(\text {BC < AB + AC}\).
Soit \(\sqrt{a+b} <\sqrt a+\sqrt b\).

Propriété

Soit \(a\) un réel. On a : \(\sqrt{a^2}=|a|.\)

Exemple
\(\quad\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\)​​​​​